Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f’(x)≤f(x) b.c 属于R 证明当X≥0时 f(x)小于等于（x+c）^2

Answer 1

求导有：f(x)'=2x+b
因为对一切x属于R有：2x+b≤x^2+bx+c恒成立，即有：x^2+(b-2)x+(c-b)≥0恒成立，该不等式要恒成立，等价于判别式△=(b-2)^2-4×(c-b)≤0,即c≥(b^2/4)+1，而b属于R,所以c≥(b^2/4)+1≥1，所以c^2-1≥0,由均值不等式有：c≥2√[(b^2/4)+1]=｜b｜，即c-｜b｜≥0，当b≥0时，即c-b≥0,所以2c-b=c+(c-b)>0，所以当x≥0时，恒有(x+c)^2-f(x)=(2c-b)x+(c^2-1)≥0，即命题f(x) ≤(x+c)^2成立。

Answer 2

关于上一位解答有些问题。
我的解答如下：由f’(x)≤f(x)可得ax^2+(b-2a)x+(c-b)≥0恒成立，则有Δ=（b-2a)^2-4*a*(c-b)≤0
和a>0，得b^2+4a^2-4ac≤0，即c≥b^2/(4a)+a)≥b
分析当x≥0时，f(x)≤（x+c)^2，即当x≥0时，（1）。（a-1)x^2+(b-2c)x+(c-c^2)≤0需 a-1<0， -(b-2c)/[2(a-1)]≤0，c-c^2≤0或（2）。a-1<0，-(b-2c)/[2(a-1)]≥0，f（-(b-2c)/[2(a-1)])≤0。
由c≥b知（1）有可能实现，（2)因为条件太强也不能判别。

Answer 3

由f’(x)≤f(x)可得ax^2+(b-2a)x+(c-b)≥0恒成立，则有Δ=（b-2a)^2-4*a*(c-b)≤0
和a>0，得b^2+4a^2-4ac≤0，即c≥b^2/(4a)+a)≥b
分析当x≥0时，f(x)≤（x+c)^2，即当x≥0时，（1）。（a-1)x^2+(b-2c)x+(c-c^2)≤0需 a-1<0， -(b-2c)/[2(a-1)]≤0，c-c^2≤0或（2）。a-1<0，-(b-2c)/[2(a-1)]≥0，f（-(b-2c)/[2(a-1)])≤0。
由c≥b知（1）有可能实现，（2)因为条件太强也不能判别。