Question

【急】 根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=x+4/x在(0,2]上是减函数

利用此结论求函数y=(x^2-x+4)/(x-1)在(1,2]上的最小值

Answer 1

任取0<x1<x2<=2
f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[4/(x1x2)-1]
因为0<x1<x2<=2
0<x1x2<2*2=4
所以4/(x1x2)>1
f(x1)-f(x2)

=(x2-x1)[4/(x1x2)-1]>0 (两个括号内部分都大于0)
所以f(x)=x+4/x在(0,2]上是减函数

(x^2-x+4)/(x-1)

=[x(x-1)+4]/(x-1)
=x+4/(x-1)
=(x-1)+4/(x-1)+1
令t=x-1,1<x<=2,则0<t<=1
所以
(x^2-x+4)/(x-1)

=t+4/t+1, 0<t<=1
由减函数结论，所以t+4/t最小值在t=1
所以(x^2-x+4)/(x-1)最小值
=1+4/1+1=6,此时t=1,x=2

Answer 2

1）令0<x1<x2<2, 则有x1-x2<0, 0<x1x2<4, 4/(x1x2)>1
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+4(1/x1-1/x2)=(x1-x2)[1-4/(x1x2)]>0
所以函数在(0,2]上是减函数

2）令t=x-1,则0<t<=1, y=(t^2+2t+1-t-1+4)/t=t+4/t+1
由1), y关于t为减函数，最小值当t=1时(此时x=2)，ymin=1+4+1=6