Question

已知不等式ax^2+2X+c>0的解集为{x|-1/3<X<1/2}试求a，c的值

为啥ax^2+2x+c>0是大于号，解集为{x|-1/3<x<1/2}
所以a<0,且-1/3和1/2是方程ax^2+2x+c=0的两个跟 ？

Answer 1

解：一元二次不等式，应结合二次函数的图像来记，更方便；
对于y=ax²+bx+c，
a>0，开口方向向上，a<0，开口方向向下；
当判别式：△＝b²-4ac>0，图像与x轴有两个交点，
　△＝0，图像与x轴只有一个交点；　　　　△<0，图像与x轴没交点；
对于一元二次不等式：y=ax²+bx+c>0的解，可以理解为：当x取什么值时，图像在x轴上方；
　　　　　　　　　　y=ax²+bx+c<0的解，可以理解为：当x取什么值时，图像在x轴下方；
所以常考的几种形式，你记一个；
（1）若ax²+bx+c>0，解集为R；
相当与说：x取任意数时，图像都在x轴上方；所以图像开口一定向上，且与x轴没交点；
得：a>0,　△<0
（2）若ax²+bx+c>0，解集为空集Q；
相当与说：x取任意数时，图像都不在x轴上方；所以图像开口一定向下，且与x轴不能有两交点；
得：a<0,　△≦0
（3）若ax²+bx+c>0，解集为m<x<n；
相当与说：只有当m<x<n时，图像在x轴上方；所以图像开口一定向下，且x=m与x=n是图像与x轴的两个交点；是方程ax²+bx+c=0的两根；即：f(m)=0且f(n)=0
得：a<0,　f(m)=0且f(n)=0
（4）若ax²+bx+c>0，解集为x>m或x<n；
相当与说：只有当x>m和x<n时，图像在x轴上方；所以图像开口一定向上，且x=m与x=n是图像与x轴的两个交点；是方程ax²+bx+c=0的两根；即：f(m)=0且f(n)=0
得：a>0,　f(m)=0且f(n)=0

小于，小于等于的情况，照此类推，希望你能理解，以后再见到这样的题，那就是你的菜了，哈哈！

Answer 2

符合解集为{x|-1/3<X<1/2}的不等式为
（x+1/3)(x-1/2)<0
-（x+1/3)(x-1/2)>0
不等式ax^2+2X+c>0的解集为{x|-1/3<X<1/2},则有
ax^2+2X+c≡-k（x+1/3)(x-1/2)=-kx^2+kx/6+k/6
a=-k,2=k/6,c=k/6
k=12,a=-12,c=2