Question

设a为实数,函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R 求当a分别取-1，0，1时，f(x)的最小值

如题求答。

Answer 1

a=0时，f(x)=x^2+|x|+1>=1, 最小值为f(0)=1
a=-1时，f(x)=x^2+|x+1|+1
当x>=-1时，f=x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/4, 最小值为f(-1/2)=7/4
当x<-1时，f=x^2-x-1+1=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4, 最小值为f(-1)=2
综合得 f(x)最小值为f(-1/2)=7/4
a=1时，f(x)=x^2+|x-1|+1
当x>=1时，f=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4, 最小值为f(1)=2
当x<1时，f=x^2-x+1+1=x^2-x+2=(x-1/2)^2+7/4, 最小值为f(1/2)=7/4
综合得 f(x)最小值为f(1/2)=7/4

Answer 2

1.a=-1
f(x)=x^2+ |x+1|+1
x≥-1 则f(x)=x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/4
当-1≤x≤-1/2时 单调减小
当-1/2<x时 单调增大
所以函数在x=-1/2处可能取得最小值 f(-1/2)=1/4+1/2+1=7/4
x<-1时 f(x)=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4
x<-1均在对称轴x=1/2左侧 因此为单调减函数
最小值在x=-1时取得 f(-1)=2
f(-1/2)=7/4<f(-1)=2
综上a=-1时 函数最小值为f(-1/2)=7/4

2. a=0时
f(x)=x^2+ |x|+1
当x=0取得最小值 f(0)=1

3..a=1
f(x)=x^2+ |x-1|+1
x≥1 则f(x)=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4
此时函数单调增加
所以函数在x=1处可能取得最小值 f(1)=2
x<1时 f(x)=x^2-x+2=(x-1/2)^2+7/4
函数在对称轴x=1/2处取得最小值
f(1/2)=7/4
f(1/2)=7/4<f(1)=2
综上a=1时 函数最小值为f(1/2)=7/4

Answer 3

（1）a=-1 f(x)=x²+|x+1|+1 x≥-1f(x)=x²+x+2
x<-1 f(x)=x²-x
当 x=-1/2 时最小值 f(-1/2)=7/4
（2）a=0 f(x)=x²+|x|+1 x≥0 f(x)=x²+x+1
x<0 f(x)=x²-x+1
当 x=0最小值 f(0)=1
（3）a=1 f(x)=x²+|x-1|+1 x≥1 f(x)=x²+x
x<1 f(x)=x²-x+2
当x=1/2时最小值 f(1/2)=7/4