Question

已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α^5+5β^3的值

Answer 1

由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以α^2+α-1=0，β^2+β-1=0，
即 α^2=1-α，β^2=1-β．
α^5=(α^2)^2•α=(1-α)^2α=(α^2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α=-3α^2+2α =-3(1-α)+2α=5α-3，
β^3=β^2•β=(1-β)β=β-β^2=β-(1-β)=2β-1．
所以2α^5+5β^3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．
~~~~~~~~~~~~求采纳~~~~~~~~~~~~~·

追问

α^5=(α^2)^2•α=(1-α)^2α=(α^2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α=-3α^2+2α =-3(1-α)+2α=5α-3，
β^3=β^2•β=(1-β)β=β-β^2=β-(1-β)=2β-1．
这两部是怎么做的

追答

算了，，换种方法吧。
x=b
则b²+b-1=0
b²=-b+1
b³=b(b²)
=-b²+b
=-(-b+1)+b
=2b-1

同理a²=-a+1
a^4=a²-2a+1=-a+1-2a+1=-3a+2
a^5=a(-3a+2)
=-3a²+2a
=-3(-a+1)+2a
=5a-3

a+b=-1
所以原式=10a-6+10b-5
=10(a+b)-11
=-10-11
=-21