Question

用放缩法证明: 1/2-1/(n+1)<1/(2^2)+1/(3^3)+````+1/(n^2)<(n-1)/n (n=2,3,````)

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Answer 1

1/(2*3)<1/(2*2)<1/(2*1)
1/(3*4)<1/(3*3)<1/(3*2)
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1/n(n+1)<1/(n*n)<1/n(n-1)

因为1/(2*3)=1/2-1/3, 1/(2*1)=1-1/2
1/(3*4)=1/3-1/4, 1/(3*2)=1/2-1/3
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1/n(n+1)=1/n-1/(n+1), 1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n

所以1/2-1/3<1/(2^2)<1-1/2
1/3-1/4<1/(3^2)<1/2-1/3
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1/n-1/(n+1)<1/(n^2)<1/(n-1)-1/n

全部相加,得1/2-1/(n+1)<1/(2^2)+1/(3^3)+````+1/(n^2)<1-1/n

因为1-1/n=(n-1)/n
所以1/2-1/(n+1)<1/(2^2)+1/(3^3)+````+1/(n^2)<(n-1)/n (n=2,3,````)

Answer 2

我来啦~呵呵
这个呢，这样子,
1/(2*(2+1))<1/(2^2)<1/(2^2-1),
用第一个不等关系，再用裂项相消法，可以证明左边的不等式，同理，第二个证右边~
明白了吧~
昨天我睡的早，今天早上做高考前的检查呢，所以不好意思哈