Question

一道高考三角函数探究题，求详细解答~~~~~~~~~~

已知函数f（x）=bsinwx（b∈R），x∈R，且图象关于点（π/3,0）对称，在x=π/6处f（x）取得最小值，求符合条件的w的集合
注意b≠0，且w＞0

Answer 1

由关于点（π/3,0）对称，
有f（π/3）=0
即sin（wπ/3）=0
wπ/3=kπ （k是整数）
w=3k
又x=π/6处f（x）取得最小值，
而根据sinwx属于【-1,1】
有f（π/6）=-b
所以sin（wπ/6）= -1
wπ/6=2mπ-π/2 （m是整数）
w=12m-3
所以当3k=12m-3， 即k=4m-1时w存在
所以当w=12m-3时（m为整数）满足题设

追问

注意补加有一个条件b≠0，且w＞0

Answer 2

已知函数f（x）=bsinwx（b∈R），x∈R，且图象关于点（π/3,0）对称，在x=π/6处f（x）取得最小值，求符合条件的w的集合
解析：∵函数f（x）=bsinwx（b∈R），x∈R
∵f（x）图象关于点（π/3,0）对称，满足f(x)+f(2π/3-x)=0
又∵f（x）图象在x=π/6处取得最小值，图像关于直线x=π/6对称，满足f(x)-f(π/3-x)=0
一般地，函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
∴f（x）图象周期为T=4|π/3-π/6|=2π/3
∴w=2π/(2π/3)=3
∴f（x）=bsin3x==>f（π/6）=bsinπ/2=-b==>b=-1
∴f（x）=-sin3x
令f（π/3）=sin(wπ/3)=0
wπ/3=2kπ+π==>w=6k+3 (由负变0)
令f（π/6）=sin(wπ/6)=-1
wπ/6=2kπ-π/2==>w=12k-3
取二者最小公倍数w=3(2k+1)(4k-1)=24k^2+6k-3
取w={w|w=(-1)^k*(24k^2+6k-3),k∈N}
验证：
K=0时，f(x)=sin(-3x)==> f(π/6)=sin(-3π/6)=-1, f(π/3)=sin(-3π/3)=0
K=1时，f(x)=sin(-27x)==> f(π/6)=sin(-27π/6)=-1, f(π/3)=sin(-27π/3)=0
K=2时，f(x)=sin(105x)==> f(π/6)=sin(105π/6)=-1, f(π/3)=sin(105π/3)=0
……

追问

注意补加有一个条件b≠0，且w＞0

Answer 3

解：∵函数f（x）=bsinwx（b∈R），x∈R，且图象关于点（π/3,0）对称
∴f（x）=2×0-f（2× π/3 -x)=-f(2π/3 -x)=-bsin[w(2π/3-x)]
得到：bsinwx=-bsin[w(2π/3 -x)]
(1)如果b=0，f（x）=0，符合条件的w的集合是R
（2）如果b≠0
有：sinwx+sin[w(2π/3 -x]=0
→2sin(wπ/3）cos[wπx-wπ/3]=0
→sin（wπ/3)=0→wπ/3=kπ→w=3k，k是整数。
因此f（x）=bsin3kx ，k是整数。
f（π/6）=bsin（kπ/2)
1) 当b＜0时，在x=π/6处f（x）取得最小值，有kπ/2=2mπ+π/2→k=4m+1，m是整数
则w=3k=12m+3，k是整数
即符合条件的w的集合为{w|w=12m+3，m是整数}
2）当b＞0时，在x=π/6处f（x）取得最小值，有kπ/2=2mπ-π/2→k=4m-1，m是整数。
则w=3k=12m-3
符合条件的w的集合为{w|w=12m-3，m是整数}

追问

注意补加有一个条件b≠0，且w＞0

追答

如果追加条件b≠0，且w＞0
(1)如果b＜0，w的集合为{w|w=12m+3，m是自然数}
（2）如果b＞0，w的集合为{w|w=12m-3，m是正整数}

追问

这道题是我一个同学问我的，他说他们老师在b＜0时，合并了方程w=12m+3 和w=12m+9，然后得出w=12m+3，这是怎么回事？你能理解不

追答

因为w=12m+9=12(m+1)-3,与w=12m+3均表示为与12的整数倍数相差3的意思，实际意义一样。

追问

如果令w=12n+9=12m+3，解得，m-n=1/2,不是不成立吗

追答

你看几个具体数研究一下，我不知道你的老师是什么思路，以及结果是如何限定的。

追问

我觉得这道题没必要这么联立，那不是我老师，是他补习班的老师，我不知道他的原话。
你觉得这么联立有必要吗

追答

没有看到老师的讲解，不好判断！

Answer 4

∵f（x）=bsinωx（b∈R），x∈R，图象关于点（π/3,0）对称
∴bsinωπ/3=0，且b≠0
∴ωπ/3=kπ，即ω=3k，k∈Z
又∵f（x）=bsinωx在x=π/6处取得最小值
∴ωπ/6= - π/2+2nπ，即ω= - 3+12n=3(4n-1)，n∈Z
∴当k=4n-1时，条件成立，
∵ω>0 ∴ω∈{ω|ω=3(4m-1)，m∈N*}。

Answer 5

w=6+3x(x取整且大于等于零)