Question

一道高数题，看下这么做对么，谢谢

假设f(x)在（a,∞）上连续，f(x)二阶导在此区间存在且大于零，F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)，证F(x)在此区间单增。
我想对F(x)表达式直接用拉格朗日中定得到F(x)=f‘(ε)，然后F'(x)=f''(ε)>0,所以得证
这么做对吗？

Answer 1

当然是错的，F(x)=f‘(ε)，注意ε是x的函数，F'(x)=f''(ε)(dε/dx)
F'(x)=[f'(x)(x-a)-f(x)+f(a)]/(x-a)^2
=f'(x)/(x-a)-(f(x)-f(a))/(x-a)^2
用拉格朗日中定理，存在ε，a<ε,使（f(x)-f(a))/(x-a)=f‘(ε)
再用拉格朗日中定理，存在ε‘，a<ε’,使（f‘(x)-f’(ε))/(x-a)=f‘‘(ε’)
即：F'(x)=（f‘(x)-f’(ε))/(x-a)=f‘‘(ε’)>0
F(x)在此区间单增.