Question

在三角形ABC中，已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则三角形ABC的形状是

Answer 1

（a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B),
(sin²A+sin²B)sin(A-B)=(sin²A-sin²B)sin(A+B)
sin²A×[sin(A+B)-sin(A-B)]=sin²B×[sin(A-B)+sin(A+B)]
sin²A×2cosAsinB=sin²B×2sinAcosB
sin²A×2cosAsinB-sin²B×2sinAcosB=0
sinAsinB(sin2A-sin2B)=0
sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180°
A=B或A+B=90°
故△ABC是等腰三角形或直角三角形

Answer 2

解
因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
所以
a2[sin(A-B)-sin(A+B)]+b2[sin(A-B)+sin(A+B)]=0
-2a²cosAsinB+2b²sinAcosB=0
a²cosAsinB=b²sinAcosB
a²/b²=sinAcosB/(cosAsinB)=(sinA/sinB)*(cosB/cosA)
又根据正弦定理知
a/b=sinA/sinB
a²/b²=（sinA/sinB）²
所以)(sinA/sinB)*(cosB/cosA)=（sinA/sinB）²
cosB/cosA=sinA/sinB
cosB/sinB=sinA/cosA
cotB=tanA
所以A与B互余
所以△ABC是直角三角形，其中C为直角

Answer 3

(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)

a^2[sin(A+B)-sin(A-B)]=b^2[sin(A+B)+sin(A-B)]
2a^2[cosAsinB]=2b^2[sinAcosB]
由正弦定理：
a/sinA=b/sinB==>asinB=bsinA,上式为：
acosA=bcosB
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
2A=2B,或2A+2B=π
所以三角形ABC是等腰或直角三角形