高等数学 微分方程 如图
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结论：
【积分（从a到g(x)）f(t)dt】’=f(g(x))*g'(x)。
证明：令F(u)=积分（从a到u）f(t)dt，
则由微积分基本定理有F'(u)=f(u)。
注意到要证等式左边是复合函数
F(g(x))的导数，由链式法则有
【F(g(x))】‘=F'(g(x))*g'(x)
=f(g(x))*g(x)。
建议记住这个结论。
【积分（从a到g(x)）f(t)dt】’=f(g(x))*g'(x)。
证明：令F(u)=积分（从a到u）f(t)dt，
则由微积分基本定理有F'(u)=f(u)。
注意到要证等式左边是复合函数
F(g(x))的导数，由链式法则有
【F(g(x))】‘=F'(g(x))*g'(x)
=f(g(x))*g(x)。
建议记住这个结论。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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等式两边对x求导得：
左边等于用积分上限f(x)代被积函数中的t，再乘以f(x)的导数，即是xf'(x)
右边等于用积分上限x代被积函数中的t，再乘以x的导数,即是：x(cosx-sinx)/(sinx+cosx)
xf'(x)=x(cosx-sinx)/(sinx+cosx)
求得f(x)=ln|sinx+cosx|+C
由单调条件可知：f(0)=0,所以C=0
左边等于用积分上限f(x)代被积函数中的t，再乘以f(x)的导数，即是xf'(x)
右边等于用积分上限x代被积函数中的t，再乘以x的导数,即是：x(cosx-sinx)/(sinx+cosx)
xf'(x)=x(cosx-sinx)/(sinx+cosx)
求得f(x)=ln|sinx+cosx|+C
由单调条件可知：f(0)=0,所以C=0
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左边属于复合函数求导：左边原式求导=f-1(f(x))×f′(x)=x×f′(x).
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