Question

急！！！初三数学题，不用三角函数解决

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为Bn，得Rt△ABE，如图2；
第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图3；
利用展开图4探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

Answer 1

楼上第一问没问题
第二问：当F点与点D重合时，此时△ABE≌△CFE
∴BE＝CE＝1/2AD＝1/2AE
设BE＝CE＝a，则AD＝AE＝2a，AB＝√3a
∴AB/AD＝(√3a)/(2a)＝√3/2
显然，当AB/AD＜√3/2时，点F落在AD上，能折出等边△AEF
而当AB/AD＞√3/2时，点F落在AD的延长线上，不能折出等边△AEF

Answer 2

（1）展开如图4，
∵MN∥AD∥BC，
AM=BM，
∴EB'=FB'(平行线等分线段定理)
又∵∠AB'E=∠B=90°，
∴AE=AF（线段中垂线上点到线段两端的距离相等）
∴∠EAB'=∠B'AF，
又∵∠BAE=∠B'AE，∠EAB'+∠B'AF+∠BAB‘=90°，
∴∠EAB'=∠B'AF=∠BAB‘=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是正三角形。

（2）只要AB≤AD，都可以这出，理由同上，
若AB＞AD，则AF不存在，无法折出。

追问

第2题详细点，因为是作业题要严谨一点

我在网上查了答案，是当宽≤2分之根号3长时，能
2分之根号3长＜宽＜长时，不能
但是用了三角函数，我是刚升初3的还没学

Answer 3

解：（1）△AEF是等边三角形．
证明：∵△ABE与△AB′E完全重合
∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1
由平行线等分线段定理知EB′=B′F
又∵∠AB′E=90°
∴△AB′E≌△AB′F，
∴AE=AF，∠1=∠2=1 3 ∠BAD=30°，
∴△AEF是等边三角形．
（2）不一定．
由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：长=AB：AF=sin60°= 3 ：2
时正好能折出．
设矩形的长为a，宽为b，可知
当b≤ 3 2 a时，按此法一定能折出等边三角形；
当 3 2 a＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形．