Question

初三数学几何题 已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，AF：BF=2：3，求AG：GC的值

Answer 1

连CE ,CF,BD.
因为 E为AD的中点，则三角形CEA的面积是三角形DCA面积的1/2.
因为AF：BF=2：3，则三角形CFA的面积是三角形BCA面积的2/5.
三角形EFA的面积为 三角形BDA面积的1/2*2/5=1/5。
因为ABCD是平行四边形所以DCA面积=BCA面积=BDA面积。
由以上知。三角形CEA+三角形CFA的面积为三角形DCA面积的1/2+2/5=9/10
三角形CEF面积=三角形CEA+三角形CFA-三角形EFA等于三角形DCA面积的9/10-1/5=7/10
从而三角形AEF面积：三角形CEF面积=1/5:7/10=2:7

Answer 2

过F做FH∥AD交AC于H；则FH/BC=AF/AB=AH/AC=2/5;则FH/AE=GH/AG=4/5,则AG:GC=2/7

Answer 3

过E作AB的平行线交AC于H，则△AGF∽△HGE，EH/AF=HG/AG，2EH/AF=2HG/AG，2EH=AB，2HG=AC-2AG，AB/AF=AC/AG-2，∵AF/BF=2/3，∴BF/AF=3/2，BF/AF+1=3/2+1，AB/AF=5/2，则AB/AF=5/2=AC/AG-2，AC/AG=9/2，AC/AG-1=9/2-1，GC/AG=7/2，AG:GC的值为2:7。

Answer 4

延长FE交CD于H，∵AF:BF=2:3, ∴AG:GC = AF：CH = AF:AB+AF= AF : BF+2AF = 2:7

Answer 5

解：
连接BD交AC于O点，再连接OE
∵ABCD是平行四边形
∴O点平分BD（即DO=OB）
∵E点是AD中点
∴DE=EA
又∵∠BDA是△ODE和△BDA的共同角
∴△ODE和△BDA相似
即DE:DA=DO:DB=OE:BA=1：2
OE∥BA
∵OE∥BA
∴△GOE和△GAF相似
∴GO:GA=OE:AF=GE:GF
又∵AF:BF=2：3(即AF:AB=2：5)
OE:AB=1：2
∴OE:AF=5：4(即GO:GA=5：4)
∵O平分AC
∴AG:GC=4：14=2：7

Answer 6

证明;延长FE与CD相交于点H
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB=CD
AB平行CD
所以角H=角EFA
角EDH=角EAF
因为E是AD的中点
所以DE=AE
所以三角形DEH和三角形AEF全等（AAS)
所以AF=DH
因为AF:BF=2：3
AB=AF+BF
所以AF:AB=AF:CD=2：5
因为CH=CD+DH=CD+AF
所以AF:CH=2：7
因为AB平行DC
所以角GCH=角GAF
角H=角GFA
所以三角形GCH和三角形GFA相似（AA)
所以AG/CG=AF/CH
所以AG:CG=2：7