Question

对任意两个非零向量αβ,定义α·β=α·β/β·β 若平面向量α，β满足

对任意两个非零向量αβ,定义α·β=α·β/β·β
若平面向量α，β满足lαl≥lβl＞0，αβ的夹角在（π/4,π/2）且
α※β与β※α的集合都在{n/2,n∈z}中，求α※β

（要用一般的方法，不准用特殊值）

Answer 1

由夹角在(pi/4，pi/2)得α·β>0，且
(α·β)^2<0.5(α·α)(β·β)，即
(α·β)^2/[(α·α)*(β·β)]<1/2。 （1）
再由长度不等式知道
α·β/β·β>=α·β/α·α>0，
上述不等式两边同乘以α·β/α·α得
(α·β)^2/[(α·α)*(β·β)]>=(α·β/α·α)^2＝(β※α)^2。
注意到(1)式，我们得到
0<β※α<根号(2)/2。
再由条件知道β※α＝1/2。
还是由(1)式有
0<α※β＝α·β/β·β<0.5(α·α)/α·β=0.5/β※α＝1，于是α※β＝1/2。

追问

为什么（α·β）^2<0.5(α·α）（β·β）

追答

夹角c>pi/4，则cosc<根号(2)/2，cos^2c<0.5。
cos^2c＝(α·β)^2/[(α·α)*(β·β)]

追问

再由长度不等式知道
α·β/β·β>=α·β/α·α>0怎么理解
再由条件知道β※α＝1/2。？条件没有啊

追答

1、lαl≥lβl推出β·β=1/α·α，
α·β/β·β>=α·β/α·α就成立了。
2、已经得到0<β※α<根号(2)/2。
条件α※β与β※α的集合都在{n/2,n∈z}中，
介于0和根号(2)/2的值只有1/2啊。
这些都是简单的推理，我觉得你自己应该能推导出来吧？