Question

若等差数列的项数为2n项 偶数项和减奇数项和等于多少？要证明过程 求解求解

Answer 1

a[2(n+1)-1]-a(2n-1)=a1+[2(n+1)-1-1]d-[a1+(2n-1-1)d]=2d
数列的奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列。
a[2(n+1)]-a(2n)=a1+[2(n+1)-1]d -[a1+(2n-1)d]=2d
数列的偶数项是以a2为首项，2d为公差的等差数列。
数列共2n项，则奇数项、偶数项各2n/2=n项。
S奇=na1+(2d)n(n-1)/2=na1+dn(n-1)
S偶=na2+(2d)n(n-1)/2=n(a1+d)+dn(n-1)

S偶-S奇=n(a1+d)+dn(n-1)-na1-dn(n-1)=nd
S偶/S奇=[n(a1+d)+dn(n-1)]/[na1+dn(n-1)]
=[a1+d+d(n-1)]/[a1+d(n-1)]
=(a1+nd)/[a1+(n-1)d]
=a(n+1)/an

即：S偶-S奇=公差的n倍；S偶/S奇=第n+1项/第n项。