Question

△ABC中,(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),判断三角形ABC的形状

用角化边的方法求可以么

Answer 1

解：∵(a²+b²)*sin(A-B)=(a²-b²)*sin(A+B)
∴a²*sin(A-B)+b²*sin(A-B)=a²*sin(A+B)-b²*sin(A+B)
则b²*sin(A-B)+b²*sin(A+B)=a²*sin(A+B)-a²*sin(A-B)
∴b²*[sin(A-B)+sin(A+B)]=a²*[sin(A+B)-sin(A-B)]
∴b²*2sinAcosB=a²*2cosAsinB
∴b²*sinAcosB=a²*sinBcosA
又正弦定理，有b/sinB=a/sinA
故b*a*sinBcosB=a*b*sinAcosA
即 sin2B=sin2A
∴2B=2A 或2B+2A=π
∴B=A 或B+A=π/2
∴b=a 或C=π/2
所以，△ABC为等腰三角形或△ABC为直角三角形

Answer 2

左边=(a^2+b^2)sin(A-B)
=(a^2+b^2)(sinAcosB-cosAsinB)
=a^2sinAcosB+b^2sinAcosB-a^2cosAsinB-b^2cosAsinB (1)
右边=(a^2-b^2)sin(A+B)
=(a^2-b^2)(sinAcosB+cosAsinB)
=a^2sinAcosB-b^2sinAcosB+a^2cosAsinB-b^2cosAsinB (2)
(1)=(2)，消去相同项，得
2b^2sinAcosB=2a^2cosAsinB
=> bcosB=acosA (正弦定理a/sinA=b/sinB => asinB=bsinA)
=> a/b=cosB/cosA=sinA/sinB (正弦定理)
=> sinAcosA=sinBcosB
=> sin2A=sin2B
=> A=B
∴△ABC为等腰三角形

追问

我用余弦定理 求得是 直角三角形

追答

也许同时是等腰直角三角形呢
我暂时还没想到怎么算，你是怎么算的？