Question

关于抽象函数奇偶性单调性判断的题，求解答

已知函数f(x)不恒为0，且对任意x1，x2都属于R都有f(x1+x2)+(x1-x2)=2f(x1)·f(x2)
求证:f(x)是偶函数

需要详细步骤，以及缘由，非常感谢~~

Answer 1

令x2＝0得：f(x1)＋f(x1)＝2f(x1)f(0)
由于对任意x1上式都成立，故得：f(0)＝1
再令x1＝0，得：f(x2)＋f(－x2)＝2f(0)f(x2)＝2f(x2)
∴f(－x2)＝f(x2)
∴f(x)是偶函数
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参考：证：
令x1=0
f(x2)+f(-x2)=2f(0)f(x2)
令x2=0
2f(x1)=2f(x1)f(0)
令x1=x2=0
2f(0)=2f(0)f(0)
f(0)=0或1

f(0)=0时
f(x1)=0
∴f(x)=0=f(-x)

f(0)=1时
f(x2)+f(-x2)=2f(x2)
f(x2)=f(-x2)
∴f(x)为偶函数

追问

f(0)=0时 f(x1)=0 ∴f(x)=0=f(-x)这一步是怎样的来得？怎么就直接能得到f(x)在等于零的同时也等于f(-x)呢？

f(0)=1时 f(x2)+f(-x2)=2f(x2) f(x2)=f(-x2)这个回答也是同问~

麻烦解答一下~谢谢

Answer 2

解：令x2=0 则f(x1)+f(x1)=2f(x1)*f(0) 则f(0)=1
再令x1=0 x2=x 则f(x)+f(-x)=2f(0)*f(x)=2f(x) 即f(-x)=f(x)
显然定义域关于原点对称，
故f(x)为偶函数