Question

数学高手求解

设a，b，c，d为四边形的边长，且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,试判断四边形的形状，求过程

Answer 1

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2+2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
所汪激谨以 a^2-b^2=0 c^2-d^2=0 ab-cd=0
所以 a=b c=d a=c=b=d
所以困基 是 菱形。铅饥

Answer 2

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0 <=>
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+(2a^2b^2-2abcd)+(2c^2d^2-2abcd)=0 <如判散冲耐=>
(a^2-b^2)^2 + (c^2-d^2)^2 + 2(ab-cd)^2 = 0
所以渣氏a=b,c=d,ab=cd
所以a=b=c=d
即正方形。

Answer 3

∵a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4+b^4≥2a^2*b^2
c^4+d^4≥2c^2*d^2
∴4abcd≥2a^2*b^2+2c^2*d^2
等号卜没雹在a=b,c=d时成立
又∵2a^2*b^2+2c^2*d^2≥4abcd
∴4abcd≥4abcd
等号在型帆察链ab=cd时成立
即满足a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd时
a=b,c=d,ab=cd
∴a=b=c=d即四边形为菱形

Answer 4

根据均值不等式
(a^4+b^4+c^4+d^4)/4>=(a^4b^4c^4d^4)^(1/判模4)
a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd
当且仅当a=b=c=d时，等号成立
所以四边形四条凯悔边相等，是菱形掘孙缓

Answer 5

由题意
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
2(a^4+b^4+c^4+d^4)-
2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2)
=
=2*4abcd-
2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2)
(a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)2
+(c^2+d^2)^2+(d^2+a^2)^2=-
2(ab-cd)^2-2(bc-da)^2
即念雀含
(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)2
+(c^2-d^2)^2+(d^2-a^2)^2+
2(ab-cd)^2+2(bc-da)^2=0
则仔笑有
a^2=b^2=c^2=d^2
即a=b=c=d
由岁晌于条件不足，无法对四边形
内角做出判定
则四边形为菱形