Question

第一类曲线积分题目，求高手解答

Answer 1

提示，因为f(x,y)=|xy|是关于x,y的偶函数,，所以可以利用对称性去掉绝对值号。由于原式关于x、y轴对称。所以将原式子表为4 ∫ xy ds (其中L为第一象限中的部分) ，最后采用参数方程计算它，很简单的，令x=acost ,y=bsint ，ds=√(x'²+y'²)dt，代入它们至4ab ∫(0,90°) sintcost√(x'²+y'²)dt ，到这里根号下出现一个椭圆积分（实际上不是真的椭圆积分），一定要注意，椭圆积分是无法积出来的，但是被积式里还有一项sintcost，用凑微分法刚好消去，并且这个假椭圆积分也变得可以求出来。4ab ∫(0,90°) sintcost√(a²sin²t+bcos²t)dt =4ab ∫(0,90°) √(a²sin²t+bcos²t)d（sin²t） =2ab ∫(0,90°) √[a²sin²t+b²(1-sin²t)]d（sin²t） =2ab ∫(0,90°) √[(a²-b²)sin²t+b²] d（sin²t） 到此，这个积分是可以积出来的。 结果为：[4ab(a³-b³)]/3

Answer 2

把椭圆写成参数形式
x=acost，y=bsint，0<=t<=2π，
则
ds = {√[(-asint)^2+(bcost)^2]}dt = {√[b^2+(a^2-b^2)(sint)^2]}dt，
所求积分化为定积分
I = 4 ∫(0,π/2)acost*bsint {√[b^2+(a^2-b^2)(sint)^2]}dt
=…。

追问

结果呢，这个积分很难算

追答

把椭圆写成参数形式
x=acost，y=bsint，0<=t<=2π，
则
ds = {√[(-asint)^2+(bcost)^2]}dt = {√[b^2+(a^2-b^2)(sint)^2]}dt，
所求积分化为定积分
I = 4 ∫(0,π/2)acost*bsint {√[b^2+(a^2-b^2)(sint)^2]}dt
=…
= [4ab(a^2+ab+b^2)]/[3(a+b)]。