Question

lim(x→∞)(1-2/x)^(x-1)

Answer 1

e 是从lim(1+1/x)^x 定义出来的，e的意义在於  e^x 的微分导数等於e^x,

至於lim(1+1/x)^x= 2.7182.....就用很大的数字代入(1+1/x)^x或用很小的数字代入(1+x)^(1/x)你都可以得到e 的近似，而这是无理数，你永远也不能找到尽头，问题是lim(1+1/x)^x=e 而e这个数是否有这神奇的特性:  e^x 的微分导数等於e^x, 自己.

我们 试做一个微分  y=a^x

y'= lim(△x->0)   [a^(x+ △x) - a^x]/ △x       

= lim(△x->0)  a^x [a^ △x) - 1]/ △x   

问题是a是什麼数字能使 [a^ △x - 1]=△x   那就会y' = a^x

而答案就是a= (1+△x)^(1/△x)   ,  {[(1+△x)^(1/△x) ]^ △x - 1}= △x

所以y' = lim(△x->0)  a^x [a^ △x) - 1]/ △x 

= a^x       而a =  lim(△x->0) (1+△x)^(1/△x) 

而a 这个数我们叫e  它的数值可以通过代入很大的数字於(1+1/x)^x或用很小的数字代入(1+x)^(1/x)去逼近

Answer 2

lim(x→∞)(1-2/x)^(x-1)=lim(x→∞)(1-2/x)^x/lim(x→∞)(1-2/x)=[lim(x→∞)(1-1/(x/2))^(x/2)]^2/lim(x→∞)(1-2/x)=e^2/1=e^2

追问

lim(x→∞)(1-2/x)^x这种的怎么解答呢？

追答

把2除到分母上 把^x改为^x/2*2 令t=x/2 写写看你就知了

Answer 3

lim(x→∞)(1-2/x)^(x-1)

=lim(x→∞)[(1-2/x)^(-x/2)]^(-2(x-1)/x)
=e^(-2)
=1/e²