Question

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°，且与边AC、BC

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°，且与边AC、BC分别交于E、F两点，试说明D、E、C、F在以EF为直径的圆上
若AB=10,求EF的最小值

Answer 1

取EF的中点O，连接OC、OD；
OC是Rt△CEF斜边上的中线，可得：OC = OE = OF ；
OD是Rt△DEF斜边上的中线，可得：OD = OE = OF ；
所以，OC = OE = OC = OF ，
可得：D、E、C、F在以EF为直径的圆O上。

连接CD；
因为，两点之间线段最短，
则有：CD ≤ OC+OD = OE+OF = EF ；
所以，EF ≥ CD = AB/2 = 5 ，
即有：EF的最小值为 5 。

Answer 2

取EF的中点O，连接OC、OD；
OC是Rt△CEF斜边上的中线，可得：OC = OE = OF ；
OD是Rt△DEF斜边上的中线，可得：OD = OE = OF ；
所以，OC = OE = OC = OF ，
可得：D、E、C、F在以EF为直径的圆O上。
连接CD；
因为，两点之间线段最短，
则有：CD ≤ OC+OD = OE+OF = EF ；
所以，EF ≥ CD = AB/2 = 5 ，
即有：EF的最小值为 5 。