Question

对任意两个非零向量αβ,定义α·β=α·β/β·β 若平面向量a，b满足

对任意两个非零向量αβ,定义α·β=α·β/β·β
若平面向量a,b的夹角在（π/4,π/2）且
a※b与b※a的集合都在{n/2,n∈z}中，求a※b

（要用一般的方法，不准用特殊值）

Answer 1

设向量a与b的夹角θ为则：
a※b=a·b/b·b=(|a|/|b|)cosθ
b※a=a·b/a·a=(|b|/|a|)cosθ
显然，|a|/|b|和|b|/|a|至少有一个小于1，从而(|a|/|b|)cosθ和(|b|/|a|)cosθ也至少有一个小于1，
不妨设(|a|/|b|)cosθ<1 ,由已知得(|a|/|b|)cosθ=1/2，|b|=2|a|cosθ，
所以(|b|/|a|)cosθ=2(cosθ)^2<1，(|b|/|a|)cosθ=1/2。
因此：b※a=a※b=1/2

追问

那如果向量a和向量b长度相等呢？“|a|/|b|和|b|/|a|至少有一个小于1”那|a|/|b|和|b|/|a|不就都是1了吗

追答

是！cosθ=1/2