Question

已知:如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且BD=CE，求证△ABC是等腰三角形

Answer 1

（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO并延长交BC于F，
在△AOB和△AOC中，
AB=ACOB=OCOA=OA​
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．

Answer 2

用全等三角形的方法，证明对应的两条边相等
用角角边证明△BDA≌△CEA
即可证明AB=AC
即△ABC为等腰三角形。

Answer 3

因为角A共用，角AEC=角ADB=90°，BD=CE
所以直角三角形AEC与直角三角形ADB是全等三角形；
所以边AB=AC,进而得到三角形ABC是等腰三角形。

Answer 4

运用三角形的面积等于底乘高的一半，BD乘AC=CE乘AB，因BD=CE所以AB=AC