Question

如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=?

Answer 1

解：过点P作PM⊥BA交BA延长线于M，PN⊥AC于N，PH⊥BC交BC延长线于H
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，CP平分∠ACD
∴∠PCD＝∠ACD/2＝（∠BAC+∠ABC）/2
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC＝∠ABC/2
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝∠BPC+∠ABC/2
∴∠BPC+∠ABC/2＝（∠BAC+∠ABC）/2
∴∠BAC＝2∠BPC＝80
∴∠CAM＝180-∠BAC＝100
∵PM⊥BA，PH⊥BC，BP平分∠ABC
∴PH＝PM
∵PN⊥AC，PH⊥BC，CP平分∠ACD
∴PH＝PN
∴PM＝PN
∴AP平分∠CAM
∴∠CAP＝∠CAM/2＝50°

Answer 2

∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+40°；(1)
PB平分∠ABC，得∠PBC=∠ABC/2;
PC平分∠ACD, 得∠PCD=∠ACD/2; 代入（1）得
∠ACD-∠ABC=80°；
在△ABC中，∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°; (∠ACD是外角);（2）
过P点作BC、AC、BA的垂线分别交于D、E、F；
由PB平分∠ABC，得PD=PF；
由PC平分∠ACD，得PE=PD；
推得PE=PF，所以PA平分∠CAE；（点到角两边的距离相等，则它与角顶点的连线是角平分线）
即∠CAP=∠CAE/2; (3)
又∠CAE是△ABC的外角，有∠CAE=180-∠BAC；代入（2）得
∠CAE=100°, 代入（3)得：
∠CAP=50°

Answer 3

作∠BAC的角平分线交BP于点O
∠ACD=∠BAC+∠ABC =>∠ACP=1/2∠BAC+1/2∠ABC=∠ABP+∠BAO=∠AOP
=>∠OAC=∠BPC=40°=>∠CAP=2∠OAC=80°