Question

一道高等数学代数题，恳请大家来帮帮忙！

设n>4，a1,a2,......,一共n个不同的整数。求证f(x)是整系数不可约多项式，其中
f(x)=(x-a1)（x-a2)…(x-an)±1
如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。
如果可能，我会重重奖励。

Answer 1

思路：反证法。
设f(x)＝p(x)q(x)，其中p(x)，q(x)的次数都>=1，<=n－1，
且是整系数多项式。
注意到1＝f(ai)＝p(ai)q(ai)，1<=i<=n，
且p(ai)和q(ai)都是整数，因此只能是
p(ai)＝q(ai)＝1或p(ai)＝q(ai)＝－1。
令g(x)＝p(x)－q(x)，则g(ai)＝0，1<=i<=n，
再由g(x)的次数<=n－1知道g(x)＝0，即p(x)＝q(x)，
因此f(x)＝p^2(x)，故n＝2k，k>=3。
再不妨设p(ai)＝1，1<=i<=k，
p(ai)＝－1，k+1<=i<=n。
于是p(x)＝(x－a1)....(x－ak)+1
＝(x－a(k+1))....(x－an)－1。
代入x＝an得
(an－a1)....(an－ak)＝－2，
注意到上式左边是至少3个互不相等的整数的乘积，而
－2＝－1×2＝1×(－2)，因此上式不可能成立。矛盾。
对于f(x)＝(x－a1)...(x－an)－1，
类似得到－1＝f(ai)＝p(ai)q(ai)，
于是令g(x)＝p(x)+q(x)，可知g(x)＝0，
f(x)=－p^2(x)。
但x趋于正无穷时，lim f(x)＝正无穷，
lim －p^2(x)＝－无穷，矛盾。