Question

求下列极限 要具体过程

Answer 1

原式=limx(e-(1+1/x)^x)/e(1+1/x)^x),分母趋于e^2,现在看分子
limx(e-(1+1/x)^x)
=lim(e-(1+1/x)^x)/(1/x)
用罗比达法则：分母导数为(-1/x^2),先求(1+1/x)^x的导数
设y=(1+1/x)^x，lny=xln(1+1/x)，y'/y=ln(1+1/x)+x(1/(1+1/x))(-1/x^2)
y'=y[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
limx(e-(1+1/x)^x)
=lim(e-(1+1/x)^x)/(1/x)
=limy[ln(1+1/x)-1/(1+x)]/(1/x^2)
=elim[ln(1+1/x)-1/(1+x)]/(1/x^2)
=elim[(1/(1+1/x)(-1/x^2)+1/(1+x)^2)]/(-2/x^3)
=e/2im[x^2/(1+x)-x^3/(1+x)^2]
=e/2lim[x^2(1+x)-x^3]/(1+x)^2
=e/2
结果为1/2e

Answer 2

中括号里面第一项分子分母同除以x的x次方，分母极限为e，剩下的你懂的

追问

不好意思，你能在说详细点吗？

追答

……

Answer 3

还挺麻烦。咱们令f(x)=(1+1/x)^x 显然lim f(x)=e
首先把x提出来，原式 = lim x*[1/f(x)-1/e]
= lim x*(e-f(x))/(e*f(x))
分母的极限是e^2 有限的一个东西就放一边
现在分子的形式是0×无穷
把分子变为 [e-f(x)]/(1/x) 使用洛必达法则
f(x)=exp{xln(1+1/x)}
一阶导函数f'(x)= - [ ln(1+1/x) - (1/x)/(1+1/x) ] * f(x)
分母的一阶导自然是 - 1/x^2
化简过后 用一阶近似 ln(1+1/x)=1/x 当x趋向正无穷
最后就会发现 洛必达之后的结果是[ x^2/(x^2+x) - 1/2 ]*e = e/2
所以极限就是e/2 / e^2 = 1/2e

你敢给点分不！

Answer 4

要通分算