Question

一道高中数学题，请智者帮忙解答，要简单易懂哦

已知函数φ(x)=a/(x+1),a为正常数。若g(x)=|lnx|+φ(x)，且对任意x1,x2∈(0,2],x1≠ x2,都有(g(x2)-g(x1))/(x2-x1)<-1,求a的取值范围？
无知者勿扰！

Answer 1

(g(x2)-g(x1))/(x2-x1)<-1可以理解为g(x)在(0,2]的区间内递减的速率.
故可用导数解决此问题.
因为有绝对值,所以把区间分成两部分0到1和1到2
(1,2]:g(x)=|lnx|+φ(x)=lnx+a/(x+1),g'(x)=1/x-a/((x+1)^2)<-1,整理,得:a>(1+x)^3/x
作F(x)=(1+x)^3/x=x^2+3x+3+1/x
求导F'(x)=2x+3-1/x^2, 再求导,(F'(x))'=2+2/x^3,
(F'(x))'在(1,2]上增,而F'(1)>0
所以(1+x)^3/xMAX=27/2,所以a>27/2
在(0,1]上同理可得,在a>0时恒成立
综上,a>27/2

Answer 2

不是没有人象这样难的题目哪怕是悬赏5分，可能参与的人就要多一点 ，我下午有时间的话就来给你做，很快就要上课了

对任意x1,x2∈(0,2],x1≠ x2,都有(g(x2)-g(x1))/(x2-x1)<-1
令Δx=|x2-x1|-->0
lim(Δx->0)[(g(x2)-g(x1))/(x2-x1)]=g '(x)
1）
当x∈（0，1)时，
g(x)=-lnx+a/(1+x)
g '(x)=-1/x-a/((1+x)^2<-1
a/(1+x)^2>(x-1)/x
a>(x-1)(x+1)^2/x=x^2+x-1/x-1=h(x) 对一切的x∈(01)恒成立；
恒大问题就是左边的a比右边的h(x)的最大值还要大，下面再求h(x)在（0，1）上的最大值；
h '(x)=2x+1+1/x^2>0，所以 h(x)在（0，1）上单调增，
h(max)=h(1)=1+1-1-1=0
所以a>0
2)
当1≤x<2时，
g(x)=lnx+a/(1+x)
g '(x)=1/x-a/(1+x)^2<-1
a/(1+x)^2>(1-x)/x
a>(1-x^2)(1+x)/x=-x^2-x+1/x+1=h(x) x∈[1,2)
h '(x)=-2x-1-1/x^2<0,
所以函数h(x)在【1，2）上单调减，
h(max)=h(1)=-1-1+1+1=0
所以a>0
综合可知a>0

追问

惭愧 我身无分文 谢谢你 但你做错了 后来我自己想出来了。

追答

亏最后一步单调性算错了

Answer 3

对任意x1,x2∈(0,2],x1≠ x2,都有 (g(x2)-g(x1))/(x2-x1)<-1，即g(x)=|lnx|+φ(x) 在（0,2]的导数<-1，又因为 在(0,1]上，g(x)的导数为-1/x-a/(x+1)²
在(1,2]上，g(x)的导数为1/x-a/(x+1)²
可得 -1/x-a/(x+1)²<-1
1/x-a/(x+1)²<-1
a≥1 不会算了。。。。再看看

Answer 4

分两段讨论,(0,1)上易证得恒成立.(1,2)上f'(x)<-1恒成立f'(x)=1/x-a/(x 1)^2<-1,分离参数a，a>[(x 1)^2 x(x 1)^2]/x恒成立 即求g(x)=[(x 1)^2 x(x 1)^2]/x的最大值 得g(x)<27/2,所以a>27/2

Answer 5

问题好像没说清楚吧