Question

高等数学 微积分 如图 概念问题

Answer 1

解：
定理给出的条件是准确的。

在中学阶段，对函数的定义是：
设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
到了大学阶段，函数有了更广义的定义：
设A，B是非空集合，f：x→y是从A到B的一个对应关系，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B；
定理中强调的单值，就是中学阶段函数的要求：对于x的取值，y有唯一确定的值与之对应；同时由于定理中函数求导的关系，要求中间函数的连续可导性，但并不要求函数的单调性；只要在边界点符合积分限的对应关系即可。
例如：
f(x) = 2x，x=φ(t) = t²，f(x) 积分限为 x= [1,4]；那么，由x = φ(t) =t²，那么可供选择的t的积分区间，有 t = [-1, -2]，t=[-1, 2]，t = [1,2]；需要说明积分区间不要求上限大于下限，但是边界点的 t与x 对应关系一定要保证。这里，在积分区间[-1,-2]，[1, 2] φ(t)是单调的，在[-1，2]上，则 φ(t) 非单调。
∫ f(φ(t) )φ'(t)dt = ∫ 2 t² *2t dt
= ∫ 4t³ dt = t^4 + c
t 的三个积分区间的积分结果都是15；

通过实例验证，结果是正确的，希望能对你有所帮助。关于定理的严格的理论证明可以参阅有关的参考文献。

Answer 2

单值就是一个对应一个，取一个t值，有且只有一个x值与之对应。不一定是单调函数，单调函数是说单调增或者单调减，比如y=x^2在[-1，1]上可以说它是单值的且有连续导数的

Answer 3

我们平时遇到的函数一般都是单值函数，在复变函数里有多值函数。目测这个定理属于印刷错误，应是单调。单值连续函数就是连续函数，跟单调没有必然联系。

Answer 4

本定理是积分的第二换元法，叙述中的（2），“单值”是笔误，应为“单调”。
注：本来函数的定义中就要求“单值”，所以此处不必特别声明“单值”的。