Question

△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE

Answer 1

延长CE与BA交于点F
∵BE平分角ABC，而且CE垂直于BE
∴三角形FBE全等于三角形CEB
∴EF=CE
∴2CE=CF
连接DF，可知三角形FDA是等腰直角三角形
所以FA=DA
又因为AC=AB,角FAC=角BAD=90°
所以三角形FAC全等于三角形BAD
所以BD=CF=2CE

追问

为什么“连接DF，可知三角形FDA是等腰直角三角形”，等腰从哪里来

追答

那个你别看了。要用到内切圆的你没学，看这两个
1.过点D作DF⊥BC
∵BD是角平分线
∴AD=DF
设AD=x
则DF=x
∵∠BCA=45°
∴CF=DF=x
利用勾股定理算出CD=根号2 x
AB=（根号2+1）x
利用勾股定理算出BD=根号（4+2根号2）x
∵△CDE∽△BDA（两角相等的三角形相似）
∴AB/CE=BD/CD
∴CE=根号【（2+根号2）÷2】
∴BD=2CE

2.证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE