Question

二次函数的图像与x轴两交点之间的距离是2，且过（2，1），（-1，1）两点，求此二次函数解析式

Answer 1

设左交点的横坐标为m, 则右交点的横坐标为m+2
二次函数: y = a(x -m)(x -m-2)
代入(2, 1):
(2, 1)和(-1, 1)纵坐标相同, 则对称轴为x = (2 -1)/2 = 1/2
与x轴两交点的横坐标分别为1/2 - 1 = -1/2和1/2 + 1 = 3/2
y = a(x + 1/2)(x - 3/2)
代入(-1, 1): 1 = a(-1/2)(-5/2)
a = 4/5
y = (4/5)(x+1/2)(x-3/2)

Answer 2

提示：一般的二次函数解析式有三个系数，a,b,c，求解时，需要三个方程（图像上三个点）。
而本题只给了两个点，和一个条件。难点在于构造出条件中蕴含的方程，使得未知数个数等于方程个数。

解：
设二次函数为y=a*x*x+b*x+c，x轴上的两点分别为（x1，0），（x2，0）。
则有以下方程：
（1）x2-x1 = 2
（2）a*x1*x1+b*x1+c = 0
（3）a*x2*x2+b*x2+c = 0
（4）a*2*2+b*2+c = 1
（5）a*（-1）*（-1）+b*（-1）+c = 1
解得：
x2=1.5
x1=-0.5
a = 0.8
b = -0.8
c = -0.6
所以，二次函数的解析式为y=0.8x^2 -0.8x - 0.6