提问一个初三上册的数学一元二次方程，急急急
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x^2+6x+30=0
二次项系数为1
一次项系数为6，
常数项系数为30
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable 或 a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)
2、该部分是中考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）
4、方程两根为x1，x2时，方程为：x²-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)
5、在系数a>0的情况下，b²-4ac>0时有2个不相等的实数根，b²-4ac=0时有两个相等的实数根，b²-4ac<0时无实数根。
一般式
ax²+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)
例如：x²+2x+1=0
配方式
a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a
两根式（交点式）
a(x-x1)(x-x2)=0
一般解法
1.分解因式法
（可解部分一元二次方程）
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如
1.解方程：x²+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚²=0
解得：x1= x2=-1
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0
解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0
即 x-3=0 或 x+1=0
∴ x1=3，x2=-1
3.解方程x^2-4=0
解：（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2，x2= 2
十字相乘法公式：
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：
1. ab+b²+a-b- 2
=ab+a+b²-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
2.公式法
（可解全部一元二次方程）
求根公式
首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）
2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
3.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a
来求得方程的根
3.配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x²+2x－3=0
解：把常数项移项得：x²+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4
因式分解得：（x+1)²=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
4.开方法
（可解部分一元二次方程）
如：x²-24=1
解：x²=25
x=±5
∴x1=5 x2=-5
5.均值代换法
（可解部分一元二次方程）
ax²+bx+c=0
同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根据x1*x2=c/a
求得m。
再求得x1, x2。
如：x²-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)
x1*x2=825
所以m=20
所以x1=55， x2=15。
一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
一般式：ax²+bx+c=0的两个根x1和x2关系：
x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法
例题精讲
1、开方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)²=7 （2）9x²-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)²=7
3x+1=±√7
x= ...
∴x1=...,x2= ...
（2）解： 9x²-24x+16=11
(3x-4)²=11
3x-4=±√11
x= ...
∴x1=...,x2= ...
2．配方法：
例1 用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
将二次项系数化为1：x²-4/3x=2/3
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-4/3x+( -2/3)²= 2/3+(-2/3 )²
配方：(x-2/3)²=10/9
直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3
∴x1 , x2 .
∴原方程的解为x1,x2 .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a
当Δ=b²-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b²-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b²4ac)]/2a（两个不相等的实数根）
当Δ=b²-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当Δ=b²-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b²)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b²)i]/2a
（两个虚数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2, b=-8，c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0
∴x= (4±√6)/2
∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8
(2) 2x²+3x=0
(3) 6x²+5x-50=0 (选学）
(4)x²-4x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x²-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5 x2=-2是方程的解。
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。
(3)解：6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。
(4)解：x²-4x+4 =0
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=x2=2是原方程的解。
5.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例5：用十字相乘法解下列方程：
解： m2+4m-12=0
∵ 1，-2
1，6
∴（m-2）（m+6）=0
∴m-2=0或m+6=0
∴m1=2;m2=-6
小结
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax²+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x²-bx+1=0,
他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x²+px+q=0的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax²=bx、ax²=c、 ax²+c=bx、ax²+bx=c、ax²=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x²+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
编辑本段判别方法
一、教学内容分析
“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是：
知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号"△"
编辑本段解题步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
一元二次方程
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．
编辑本段经典例题精讲
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
编辑本段韦达定理
韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
韦达定理(Viete's Theorem）的内容
一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0 且△=b²-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…，Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)²*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理的证明
设x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个解。
有：a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
~~~
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
~~~
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
二次项系数为1
一次项系数为6，
常数项系数为30
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable 或 a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)
2、该部分是中考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）
4、方程两根为x1，x2时，方程为：x²-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)
5、在系数a>0的情况下，b²-4ac>0时有2个不相等的实数根，b²-4ac=0时有两个相等的实数根，b²-4ac<0时无实数根。
一般式
ax²+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)
例如：x²+2x+1=0
配方式
a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a
两根式（交点式）
a(x-x1)(x-x2)=0
一般解法
1.分解因式法
（可解部分一元二次方程）
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如
1.解方程：x²+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚²=0
解得：x1= x2=-1
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0
解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0
即 x-3=0 或 x+1=0
∴ x1=3，x2=-1
3.解方程x^2-4=0
解：（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2，x2= 2
十字相乘法公式：
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：
1. ab+b²+a-b- 2
=ab+a+b²-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
2.公式法
（可解全部一元二次方程）
求根公式
首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）
2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
3.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a
来求得方程的根
3.配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x²+2x－3=0
解：把常数项移项得：x²+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4
因式分解得：（x+1)²=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
4.开方法
（可解部分一元二次方程）
如：x²-24=1
解：x²=25
x=±5
∴x1=5 x2=-5
5.均值代换法
（可解部分一元二次方程）
ax²+bx+c=0
同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根据x1*x2=c/a
求得m。
再求得x1, x2。
如：x²-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)
x1*x2=825
所以m=20
所以x1=55， x2=15。
一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
一般式：ax²+bx+c=0的两个根x1和x2关系：
x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法
例题精讲
1、开方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)²=7 （2）9x²-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)²=7
3x+1=±√7
x= ...
∴x1=...,x2= ...
（2）解： 9x²-24x+16=11
(3x-4)²=11
3x-4=±√11
x= ...
∴x1=...,x2= ...
2．配方法：
例1 用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
将二次项系数化为1：x²-4/3x=2/3
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-4/3x+( -2/3)²= 2/3+(-2/3 )²
配方：(x-2/3)²=10/9
直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3
∴x1 , x2 .
∴原方程的解为x1,x2 .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a
当Δ=b²-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b²-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b²4ac)]/2a（两个不相等的实数根）
当Δ=b²-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当Δ=b²-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b²)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b²)i]/2a
（两个虚数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2, b=-8，c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0
∴x= (4±√6)/2
∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8
(2) 2x²+3x=0
(3) 6x²+5x-50=0 (选学）
(4)x²-4x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x²-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5 x2=-2是方程的解。
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。
(3)解：6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。
(4)解：x²-4x+4 =0
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=x2=2是原方程的解。
5.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例5：用十字相乘法解下列方程：
解： m2+4m-12=0
∵ 1，-2
1，6
∴（m-2）（m+6）=0
∴m-2=0或m+6=0
∴m1=2;m2=-6
小结
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax²+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x²-bx+1=0,
他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x²+px+q=0的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax²=bx、ax²=c、 ax²+c=bx、ax²+bx=c、ax²=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x²+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
编辑本段判别方法
一、教学内容分析
“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是：
知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号"△"
编辑本段解题步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
一元二次方程
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．
编辑本段经典例题精讲
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
编辑本段韦达定理
韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
韦达定理(Viete's Theorem）的内容
一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0 且△=b²-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…，Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)²*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理的证明
设x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个解。
有：a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
~~~
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
~~~
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
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左边展开后是x2+10x+25 右边是4x-5 移到左边变成x2+6x+30=0 二次项系数1 一次项系数6 常数项30
追问
请问方程式是多少
追答
不就是x2+6x+30嘛
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x^2+6x+30=0
二次项系数 1 一次项系数 6
二次项系数 1 一次项系数 6
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mx^2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0)
答案：
1.分解参变量
原式可化成：
m(x^2-3x+1)-2x+2=0
简化后m(x-1)(x-2)-2(x-1)=0
(x-1)(mx-2m-2)=0
显然x1=1，x2=(m+1)/m(m≠0)为方程的两个解。…………m=0时，不存在2个解，与题目要求不符。
而
若x1>x2,即1>1+1/m,显然m<0,亦不符题目中m>0的要求。
由此解：
x2-2x1=1+1/m-2
=1/m-1
即y=1/m-1
y>=2m时
即1/m-1>=2m
解方程1/m-1-2m>=0
易得-2m^2-m+1>=0
答案：
1.分解参变量
原式可化成：
m(x^2-3x+1)-2x+2=0
简化后m(x-1)(x-2)-2(x-1)=0
(x-1)(mx-2m-2)=0
显然x1=1，x2=(m+1)/m(m≠0)为方程的两个解。…………m=0时，不存在2个解，与题目要求不符。
而
若x1>x2,即1>1+1/m,显然m<0,亦不符题目中m>0的要求。
由此解：
x2-2x1=1+1/m-2
=1/m-1
即y=1/m-1
y>=2m时
即1/m-1>=2m
解方程1/m-1-2m>=0
易得-2m^2-m+1>=0
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