Question

麻烦做到级数求收敛域，并给出详细过程！谢谢~

Answer 1

这是幂级数
令：an=1/2^(n+1)-1/3^(n+1)
因此，收敛半径r
=lim(n→∞) | an/a(n+1) |
=lim (1/2^(n+1)-1/3^(n+1)) / (1/2^(n+2)-1/3^(n+2))
=lim (1-(2/3)^(n+1)) / (1/2 - 2^(n+1)/3^(n+2))
=2
因此，x+4∈(-2,2)

特别地，检验：
x+4=2：
∑ (1/2-(1/3)*(2/3)^n)，因为lim (1/2-(1/3)*(2/3)^n)=1/2≠0，明显级数不收敛
x+4=-2：
∑ (-1)^n*(1/2-(1/3)*(2/3)^n)，同理，明显级数不收敛

因此，收敛为(-2-4,2-4)=(-6,-2)
有不懂欢迎追问

追问

请问∑ (1/2-(1/3)*(2/3)^n) 为什么不能看成 1/2-(1/3)*(2/3)^n 前面是1/2 后面是几何级数-(1/3)*(2/3)^n ， | 2/3 |<1 该级数收敛 那∑ (1/2-(1/3)*(2/3)^n) 不就在-2这点收敛了吗？ 求解释！！！

追答

因为∑ (1/2-(1/3)*(2/3)^n)
=(1/2-(1/3)*(2/3)^0)+(1/2-(1/3)*(2/3)^1)+…+(1/2-(1/3)*(2/3)^n)+…
=∑(n=0,∞)((n+1)/2) - (1/3)*∑(n=0,∞) (2/3)^n
明显发散
要注意，∑ (1/2-(1/3)*(2/3)^n)并不等于1/2-(1/3)*∑ (2/3)^n
因为只有乘(除)法才能把常数提出求和外，但加(减)法是不能这样提的
有不懂欢迎追问