Question

已知f((x)=x^3+x(x∈R)，判断f(x)在（-∞，+∞）上的单调性并证明。

我看到别人的回答是这样的

函数f（x）在R上是增函数
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1^3+x1）-（x2^3+x2）=（x1-x2）（x1^2+x1x2+x2^2）+（x1-x2）=(x1-x2)[(x1+(1/2) x2)^2+(3/4 )x 2^2 +1]
由x1＜x2，得x1-x2＜0，(x1+(1/2) x2)^2+(3/4) x2^2 +1＞0
于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以，函数f（x）在R上是增函数．
x1^3=x1的三次方

我真正的问题是，为什么要这么做？既然X1小于X2，那么X1^3+X1不是肯定比X2^3+X2小吗？

我们老师给出的做法也是这样的……求解释～
还是不明白……这没法举出反例的东西为什么就不能直接用？
我数学的确不好……希望大家能耐心一点。

Answer 1

画个图一目了然

追问

　　那个……请您再仔细看下我的问题好吗……

Answer 2

是的，当x1<x2时，有x1³+x1<x2³+x2，但这是需要证明的，并不是想当然的。
这个结论，只有在x的指数是奇数时，才成立，如果换成偶数次，就会产生错误。

Answer 3

解
小与不小要经过演算才知道

因为
（X1^3+X1）-（X2^3+X2）
=（X1^3-X2^3）+（x1-X2）
=（x1-x2）（x1^2+x1x2+x2^2）+（x1-x2）
=（x1-x2）[（x1^2+x1x2+x2^2）+1]
=(x1-x2)[(x1+(1/2) x2)^2+(3/4 )x 2^2 +1]
由于x1＜x2
所以x1-x2＜0
又由于(x1+(1/2) x2)^2+(3/4 )x 2^2 +1恒大于0
所以(x1-x2)[(x1+(1/2) x2)^2+(3/4 )x 2^2 +1]＜0
即（X1^3+X1）-（X2^3+X2）＜0
所以X1^3+X1＜X2^3+X2

Answer 4

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