Question

x/(1-x^2)展开为x的幂级数，求详细点的展开过程

Answer 1

f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]

因为
1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n，x∈(-1,1)

所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)

其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
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追问

其实还有一问x/(1+x^2)也要求展开，这个没法分解，按照你的方法就做不出来

追答

其实这个也是有两个方法的~~
f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取积分：
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt
=arctanx
=∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然后，同对x求导
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此，
f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)

其实和上一题一样，只要细心一点，就会留意到：
x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2))
=lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2))
=lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2))
这正是首项为x，公比为-x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)

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