Question

设a,B是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实根，f(m)=a^2+B^2,求实数m的取值范围和f(m)得最小值

Answer 1

a,B是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实根，

所以
a+b=m
ab=(m+2)/4
Δ=16m²-16(m+2)>=0
m²-m-2>=0
(m+1)(m-2)>=0
m>=2或m<=-1
f(m)=a²+b²=(a+b)²-2ab
=m²-(m+2)/2
=m²-1/2m-1
=(m-1/4)²-17/16
所以m=-1时，取最小值=1-1/2=1/2

Answer 2

因为方程4x^2-4mx+m+2=0有两个实根
所以 （-4m)²-4*4*(m+2)≧0
整理
16m²-16m-32≧0
m²-m-2≧0
(m-2)(m+1)≧0
1. m-2≧0 m+1≥0 得 m≥0 m≥-1 所以： m≥0
2. m-2≦0 m+1≤0 得 m≦0 m≦-1 所以： m≦-1
实数m的取值范围: m≥0 或 m≦-1

a,b是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实根
则： a+b=-(-4m)/4=m
a*b=(m+2)/4

f(m)=a²+b²=(a+b)²-2ab=m²-2*[(m+2)/4]=m²-1/2m-1
=(m-1/4)²-1/16-1=(m-1/4)²-17/16

要使f(m)有最小值， 则(m-1/4)²要最小值
所以当(m-1/4)²要有最小值，
又实数m的取值范围: m≥0 或 m≦-1
所以：当m=0时，f(m)有最小值=1/16-17/16=-1

Answer 3

a,b是方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实根，
a+b=m
ab=(m+2)/4
Δ=16m²-16(m+2)>=0
m²-m-2>=0
(m+1)(m-2)>=0
m>=2或m<=-1
f(m)=a²+b²=(a+b)²-2ab
=m²-(m+2)/2
=m²-1/2m-1
=(m-1/4)²-17/16
因为(-1-1/4)²<(2-1/4)²，所以m=-1时,f(m)min=(-1-1/4)²-17/16=1/2