Question

二次函数根的分布情况是什么

详细一点，就是y=ax2+bx+c在p,q两个区间的情况（都在其中、一个其中一个外面、都在外面等等）越多分越多

Answer 1

令y=0求两根

ax²+bx+c=0
两边同时除以a ：
x²+(bx/a)+c/a=0 ，
两边加上配方项(b/2a)² ：
x²+(bx/a)+(b/2a)²+c/a=(b/2a)² ，
左边是配好的完全平方式，并把c/a移到右边：
[x+(b/2a)]²=(b/2a)²-(c/a) ，
右边通分，然后两边开方得 ：
x+(b/2a)=±[√(b²-4ac)]/(2a) ，
把(b/2a)移到右边去 ：
x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) ，
∴ x1=[-b+√(b²-4ac)]/(2a) ，
∴ x2=[-b-√(b²-4ac)]/(2a) ，

当b²-4ac＞0时, 方程有两个不同的根 ，
当b²-4ac＝0时, 方程有1个根 ，
当b²-4ac＜0时, 方程有没有实根 。

都在其中

p<=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)<=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)<q

一个其中一个外面分两种
p <= [-b-√(b²-4ac)]/(2a) <=q< [-b+√(b²-4ac)]/(2a)
p <= [-b-√(b²-4ac)]/(2a) <=q< [-b+√(b²-4ac)]/(2a)

都在外面是三种
[-b-√(b²-4ac)]/(2a) < [-b+√(b²-4ac)]/(2a) <p<q

p<q < [-b-√(b²-4ac)]/(2a) < [-b+√(b²-4ac)]/(2a)

[-b-√(b²-4ac)]/(2a) <p<q< [-b+√(b²-4ac)]/(2a)