Question

一道证明题，急急急急！！！！

1^3+2^3+3^3+...+n^3=？？？

Answer 1

1^3＋2^3＋3^3＋······＋n^3＝（1/4）（n^2＋n）^2。　证明如下：
∵（n＋1）^4＝n^4＋4n^3＋6n^2＋4n＋1，
∴（n＋1）^4－n^4＝4n^3＋6n^2＋4n＋1。

依次令上式中的n＝1、2、3、······、n，依次得：
2^4－1^4＝4×1^3＋6×1^2＋4×1＋1，
3^4－2^4＝4×2^3＋6×2^2＋4×2＋1，
4^2－3^4＝4×3^3＋6×3^2＋4×3＋1，
······
（n＋1）^4－n^4＝4n^3＋6n^2＋4n＋1。

将上述n个式子相加，得：
（n＋1）^4－1^4
＝4×（1^3＋2^3＋3^3＋······＋n^3）＋6×（1^2＋2^2＋3^2＋······＋n^2）
　＋4×（1＋2＋3＋······＋n）＋n，

∴4×（1^3＋2^3＋3^3＋······＋n^3）
＝（n＋1）^4－1^4－6×（1^2＋2^2＋3^2＋······＋n^2）－4×（1＋2＋3＋······＋n）－n
＝（n＋1）^4－（n＋1）－6［（1/6）n（n＋1）（2n＋1）］－4［（1/2）n（n＋1）］
＝（n＋1）［（n＋1）^3－1－n（2n＋1）－2n］
＝（n＋1）［（n＋1）^3－1－n－2n^2－2n］
＝（n＋1）［（n＋1）^3－（n＋1）－2n（n＋1）］
＝（n＋1）^2［（n＋1）^2－1－2n］
＝（n＋1）^2（n^2＋2n＋1－1－2n）
＝（n^2＋n）^2，

∴1^3＋2^3＋3^3＋······＋n^3＝（1/4）（n^2＋n）^2。