Question

三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求角BPC的度数.

两种以上解法

Answer 1

解法1:如左图,把⊿BCP绕点C逆时针旋转90度至⊿ACE的位置,连接PE.

则CE=CP=2,AE=BP=1,∠BPC=∠AEC,∠ACE=∠BCP.

∴∠ECP=∠ACB=90º,得∠CEP=45º;PE²=PC²+CE²=8.

∵PE²+AE²=8+1=9=PA².

∴∠PEA=90º,故∠BPC=∠AEC=∠PEA+∠CEP=135º.

解法2:如右图,把⊿ACP绕点C顺时针旋转90度至⊿BCE的位置,连接PE.

则CE=CP=2,BE=AP=3,∠BCE=∠ACP.

∴∠PCE=∠ACB=90º,则∠CPE=45º;PE²=PC²+CE²=8.

∵PE²+PB²=8+1=9=BE².

∴∠BPE=90º,∠BPC=∠BPE+∠CPE=135º.

追问

老师，谢谢您的解答。请问，在初中阶段常用旋转性质有哪些

追答

能利用旋转性质的当然是一些特殊的图形,如:等边三角形,等腰直角三角形等.
旋转的目的是为了把一些凌乱的条件通过旋转使其集中到一个图形中,便于寻找它们之间的关系,本题就是如此.

Answer 2

首先设 边长 AC = BC = a，如果能够求得a， 则可以利用余弦定理求出角BPC。

一、求解a的方法如下：
1、首先利用余弦定理列出两个方程 ：
对于三角形ACP cos ∠ACP = (a^2 + 2^2 - 3^2)/(4a)
对于三角形BCP cos∠BCP = (a^2 + 2^2 - 1^2)/(4a)
2、由于 角ACP+ 角BCP = 90° ， 即 cos ∠BCP = sin ∠ ACP，
由公式（cos ∠ACP）^2+ (sin ∠ ACP)^2 =1,可得出上面两个方程的联立
(a^2 + 2^2 - 3^2)^2 / (4a)^2 + (a^2 + 2^2 - 1^2)^2 / (4a)^2 = 1

3、近一步解这个方程得出 a^2 = 5+- 2根号下2
经验证， 这两个解都符合三角形构成

二、在三角形BCP中利用余弦定理求解∠BPC
cos ∠BPC = -+ 0.707
所以∠ BPC 可能为 135° 或者 45°

Answer 3

 1  ⊿BCP绕点C逆时针旋转90度至⊿ACE的位置,连接PE                                                                                CE=CP=2,AE=BP=1,∠BPC=∠AEC,∠ACE=∠BCP.

∴∠ECP=∠ACB=90º,得∠CEP=45º;PE²=PC²+CE²=8.

∵PE²+AE²=8+1=9=PA².

∴∠PEA=90º,故∠BPC=∠AEC=∠PEA+∠CEP=135º.

2  把⊿ACP绕点C顺时针旋转90度至⊿BCE的位置,连接PE.

则CE=CP=2,BE=AP=3,∠BCE=∠ACP.

∴∠PCE=∠ACB=90º,则∠CPE=45º;PE²=PC²+CE²=8.

∵PE²+PB²=8+1=9=BE².

∴∠BPE=90º,∠BPC=∠BPE+∠CPE=135º.