Question

已知椭圆x²/2+y²=1

已知动直线l过点F，且与椭圆C交与A,B两点，试问X轴上是否存在定点Q，使向量QAQB=-7/16恒成立？

Answer 1

椭圆方程为 x^2 + 2y^2 = 2
点F是右焦点么，没有说明，我按右焦点来解
设直线l 为 my+1 = x (斜率k=1/m,其实就是 y=k(x-1))代入椭圆方程
得到 (my+1)^2+2y^2-2 = 0 即 (m^2+2)y^2+2my-1=0.....1#

设Q坐标(x3,0) A(x1,y1),B(x2,y2)向量QAQB=-7/16等价于 x1x2-x3(x1+x2)+x3^2+y1y2 =-7/16(2#)恒成立
y1y2 = -1/(m^2+2); x1+x2 = 2+m(y1+y2) = 2-2m^2/(m^2+2)=4/ (m^2+2)
x1x2 = m(y1+y2)+1+y1y2m^2 = (-2m^2+m^2+2-m^2)/(m^2+2)=6/(m^2+2)-2
带入2# 令N=m^2+2
6/N-x3*4/N+x3^2-1/N=25/16
(1/N)(5-4x3) = 25/16-x3^2 恒成立

1@ 当x3 = 5/4时,左边=0，右边也=0，恒成立！ 检验当直线平行于X轴时，也成立(想想为什么不是平行于Y轴）
2@ 当x3≠ 5/4 时候,1/N = 5/4-x3 右边为常数但左边是变量，不成立

所以存在定点Q(5/4,0）使得命题恒成立[如果是左焦点就是Q(-5/4,0)]