Question

高等数学，常微分方程问题。求高手解答。不懂的别来瞎搅和。

设线性无关函数y1(x),y2(x),y3(x)都是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)解，C i（i=1,2）为任意常数,该通解为（）
A、y=c1y1+c2y2+y3 B.y=c1y1+c2y2+(c1+c2)y3
C.y=c1y1+c2y2-(1-c1-c2)y3 D.y=c1y1+c2y2+(1-c2-c3)y3 应选哪个答案，
回答得正确再追加20分。
补充一下，答案是D

Answer 1

选C 把C拆开重新组合可得
c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3
其中y1-y3 y2-y3为齐次方程的通解 所以c1(y1-y3)+c2(y2-y3)也为齐次方程的通解 y3为非齐次方程特解
有齐次方程通解+非齐次方程特解=非齐次方程通解
所以C为通解

追问

答案是d.....。

追答

两个齐次方程的通解之和为齐次方程的通解
两个非齐次方程的通解之差为齐次方程的通解
一个齐次方程的通解和非齐次方程的特解之和等于非齐次方程的通解

这是两种方程解的关系

Answer 2

y=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3

追问

求过程。

追答

y1-y3,y2-y3,是齐次方程的两线性无关解，y3相当于非齐次方程的特解，得答案

追问

初学高数，能否再详细一点，很想搞懂
是把y1,y2,y3带进方程相减还是什么，为什么就不能选C

Answer 3

答案C。
y1''+Py1'+Qy1=f
y3''+Py3'+Qy3=f
两式一减就得出y1-y3满足齐次方程y''+Py'+Qy=0，所以是齐次方程的特解。y2-y3的情况一样。
因为线性无关，所以y1-y3和y2-y3就构成了非齐次方程的基本解矩阵Φ，再加上一个特解y3，CΦ+y3就是非齐次方程的通解。
偶是初中，不一定能对。

追问

呵呵，初中能解就很牛了，但是答案不对啊..........是d

Answer 4

首先，复习几个结论：
1、非齐次线性微分方程的通解是对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解的和，即y=y*+C1y1+C2y2的形式，其中y*是非齐次方程的特解，y1,y2是齐次方程的两个线性无关的特解。
2、非齐次方程的任意两个不同解的差是对应齐次方程的解。

现在分析每一个选项，A：形式符合要求，但是y1,y2不是齐次方程的特解。B：改写为y=C1(y1+y3)+C2(y2+y3)，形式就不合要求。C：改写为y=-y3+C1(y1+y3)+C2(y2+y3)，形式合要求，但是-y3不是非齐次方程的特解，后面的y1+y3,y2+y3也不是齐次方程的特解。D：改写为y=y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，y3是非齐次方程的特解，y1-y3,y2-y3是齐次方程的特解，由y1,y2,y3线性无关可得y1-y3,y2-y3因为线性无关，所以结果正确。

答案是D

追问

详细很详细，但是我的分已经给人勒............早点来就是您的了.....不好意思啊，不过您的答案最好。

追答

没关系，刚才看到就回答了一下

追问

对了，还能问您一下吗，A答案，形式对的，但是y1,y2不是齐次的通解吧？？您写的是特解.....

追答

是特解。y1,y2只是具体的函数，没有任意常数，如何称为通解？要说通解，C1y1+C2y2的形式倒是符合齐次方程的通解的要求

追问

但是如果是特解，c1y1+c2y2也是特解，y3也是特解，答案也不选A啊

追答

c1y1+c2y2怎么也成了特解呢？
A只是形式符合要求，y3是非齐次方程的特解，但是y1,y2是非齐次方程的特解，而不是齐次方程的特解，所以它不是非齐次方程的通解。

追问

哦哦哦哦，懂了懂了，谢谢啊，麻烦了。