Question

如图，AB为圆O的弦，从圆上任一点引弦CD垂直AB，作角OCD的平分线交圆O于P点，试说明:点P是弧AB的中点。

Answer 1

证明:延长CO交圆O于E,连接DE.
CE为直径,则:∠CDE=90º.又CD垂直AB(已知).
∴DE∥AB,则弧AD=弧BE.(平行弦所夹的弧相等).
【若没学过这一性质,可连接AE,由DE平行AB,得∠DEA=∠EAB,故弧AD=弧BE.】
又∠DCP=∠ECP(已知).
∴弧PD=弧PE,故弧PA=弧PB,即点P为弧AB的中点.

Answer 2

若是，则延长CO交圆于Q，连结DQ，BD，
∵CO是半径，
∴CQ是直径，
∴〈CDQ=90°（半圆上圆周角为直角），
即QD⊥CD，
∵CD⊥AB，
∴DQ//AB，（两条直线同时垂直另一条直线，则该两条直线平行），
∴〈ABD=〈BDQ，（内错角相等），
∴AD弧=BQ弧，（圆周角相等，所对等弧也相等），
∵CF是〈DCO（Q）的平分线，
∴DF弧=FQ弧，（等角对等弧）
∴DF弧+AD弧=FQ弧+BQ弧，
∴AF弧=BF弧，
∴AF=BF，（如果弧相等，则对应弦也相等）。

Answer 3

连接oA，oB，oP.
因为CP为角oCD平分线，
所以角DCP=角Pco，
又因为oC=oP，
所以角oPC=角ocP，
所以角DCP=角CPo
所以cD平行于oP，
又因为cD垂直干，AB，
所以op垂直于AB，
又因为oA= oB，
所以oP平.分角AOB
所以角Aop=甫BoP
所以全等，
所以PA=PB