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如图,AB为圆O的弦,从圆上任一点引弦CD垂直AB,作角OCD的平分线交圆O于P点,试说明:点P是弧AB的中点。 30
3个回答
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证明:延长CO交圆O于E,连接DE.
CE为直径,则:∠CDE=90º.又CD垂直AB(已知).
∴DE∥AB,则弧AD=弧BE.(平行弦所夹的弧相等).
【若没学过这一性质,可连接AE,由DE平行AB,得∠DEA=∠EAB,故弧AD=弧BE.】
又∠DCP=∠ECP(已知).
∴弧PD=弧PE,故弧PA=弧PB,即点P为弧AB的中点.
CE为直径,则:∠CDE=90º.又CD垂直AB(已知).
∴DE∥AB,则弧AD=弧BE.(平行弦所夹的弧相等).
【若没学过这一性质,可连接AE,由DE平行AB,得∠DEA=∠EAB,故弧AD=弧BE.】
又∠DCP=∠ECP(已知).
∴弧PD=弧PE,故弧PA=弧PB,即点P为弧AB的中点.
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若是,则延长CO交圆于Q,连结DQ,BD,
∵CO是半径,
∴CQ是直径,
∴〈CDQ=90°(半圆上圆周角为直角),
即QD⊥CD,
∵CD⊥AB,
∴DQ//AB,(两条直线同时垂直另一条直线,则该两条直线平行),
∴〈ABD=〈BDQ,(内错角相等),
∴AD弧=BQ弧,(圆周角相等,所对等弧也相等),
∵CF是〈DCO(Q)的平分线,
∴DF弧=FQ弧,(等角对等弧)
∴DF弧+AD弧=FQ弧+BQ弧,
∴AF弧=BF弧,
∴AF=BF,(如果弧相等,则对应弦也相等)。
∵CO是半径,
∴CQ是直径,
∴〈CDQ=90°(半圆上圆周角为直角),
即QD⊥CD,
∵CD⊥AB,
∴DQ//AB,(两条直线同时垂直另一条直线,则该两条直线平行),
∴〈ABD=〈BDQ,(内错角相等),
∴AD弧=BQ弧,(圆周角相等,所对等弧也相等),
∵CF是〈DCO(Q)的平分线,
∴DF弧=FQ弧,(等角对等弧)
∴DF弧+AD弧=FQ弧+BQ弧,
∴AF弧=BF弧,
∴AF=BF,(如果弧相等,则对应弦也相等)。
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连接oA,oB,oP.
因为CP为角oCD平分线,
所以角DCP=角Pco,
又因为oC=oP,
所以角oPC=角ocP,
所以角DCP=角CPo
所以cD平行于oP,
又因为cD垂直干,AB,
所以op垂直于AB,
又因为oA= oB,
所以oP平.分角AOB
所以角Aop=甫BoP
所以全等,
所以PA=PB
因为CP为角oCD平分线,
所以角DCP=角Pco,
又因为oC=oP,
所以角oPC=角ocP,
所以角DCP=角CPo
所以cD平行于oP,
又因为cD垂直干,AB,
所以op垂直于AB,
又因为oA= oB,
所以oP平.分角AOB
所以角Aop=甫BoP
所以全等,
所以PA=PB
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