Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,求证:AE²=AC×EC

Answer 1

证明：
∵∠A＝36,AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝（180-∠A）/2＝72
∵DE垂直平分AB
∴AE＝BE
∴∠ABE＝∠A＝36
∴∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝36
∴∠CBE＝∠A
∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72
∴∠BEC＝∠C
∴BE＝BC
∴BC＝AE
∵∠ACB＝∠ECB
∴△ABC∽△BCE
∴AC/BC＝BC/EC
∴BC²=AC×EC
∴AE²=AC×EC

Answer 2

∵AE＝BE（中位线性质）＝BC（∠C＝∠CEB＝72º）；
又∵△ABC∽△BCE（三个角相等：72º，72º，36º），
AC∶BC＝BC∶CE（对应边成比例），即AC∶AE＝AE∶CE（等量代换），
∴AE²＝AC·CE（内项积等于外项积）。

Answer 3

∠A=36°, △ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠ACB=72°.
DE是AB的垂直平分线，于是△AEB为等腰三角形，从而∠ABE=∠A=36°,于是∠CBE=∠ABC-∠ABE=36°.
于是△BCE是与△ABC相似的等腰三角形，
从而AC/BE=BC/CE,由BC=BE=AE，得到AE^2=AC×EC.