Question

若f(x)=x3-6ax的单调递减区间是(-2,2),则a的取值范围是

Answer 1

按你的题，a为定值
f(x)=x³-6ax
f'(x)=3x^2-6a=3(x^2-2a)
∵f(x)单调递减区间是(-2,2),
∴f'(-2)=f'(2)=0
∴3(2²-2a)=0
∴a=2
当a=2时，f'(x)=3(x+2)(x-2)
f'(x)<0==>-2<x<2，符合题意
∴a=2

将题目改成：
f(x)=x³-6ax在区间(-2,2)上是减函数,
则a的取值范围是

f'(x)=3x^2-6a=3(x^2-2a)
f(x)=x³-6ax在区间(-2,2)上是减函数,
∴x∈(-2,2),f'(x)≤0恒成立
∴x²-2a≤0,2a≥x²恒成立
∵x²∈[0,4)
∴2a≥4
∴a的取值范围是a≥2

追问

为什么a为定值

追答

f(x)单调递减区间（-2,2）是指函数只在(-2,2)上递减
在以外为递增了
∴x=-2,2是增减转换点
∴x=-2,2是导函数的零点

f(x)在(-2,2)上减函数，是另一个概念，
可以在区间外还是递减

Answer 2

解
求导f'(x)=3x²-6a
令f'(x)=3x²-6a＜0
即x²＜2a
当a≤0时，不等式无解
当a＞0时，不等式的解是-√ 2a＜x＜√ 2a
f(x)=x3-6ax的单调递减区间是(-2,2)
所以有√ 2a=2
解得a=2