Question

如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是（-1,2）

连接AB,在（2）中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO

Answer 1

抛物线过原点, 可以表达为y = ax² + bx
过A(-1,2): a -b = 2 (1)
OA的斜率=2/(-1) = -2
OB⊥OA, OB斜率= -1/(-2) = 1/2
OB的方程: y = x/2
与抛物线的方程联立, ax² + bx = x/2
x = 0(原点, 舍去)
x = (1-2b)/(2a), y = (1-2b)/(4a)
B((1-2b)/(2a), (1-2b)/(4a))
OA² = 5
OB² = [(1-2b)/2a]² + [(1-2b)/(4a)]² = (5/4)[(1-2b)/2a]²
OB = 2OA, OB² = 4OA²
(5/4)[(1-2b)/2a]² = 4*5
(1-2b)/(2a) = ±4 (2)
(1)(2)联立: a = 1/2, b = -3/2, B(4, 2)
或a = -5/6, b = -17/6 (a < 0, 舍去)
抛物线的方程: y = (x² -3x)/2
设P(p, (p² -3p)/2)
△ABP与△ABO底AB相同，只须AB上的高相等即可。
AB的纵坐标相同, △ABO中AB上的高h = A的纵坐标 = 2
△ABP中AB上的高 = |P的纵坐标 - A的纵坐标|= |(p² -3p)/2 - 2| = 2
|p² -3p -4| = ±4
(i) p² -3p = 0
p= 0 (原点, 舍去)或p = 3
P(3, 0)
(ii)p² -3p -4 = 4
p = (3±√41)/2
P((3±√41)/2, 4)