Question

已知函数f(x)=x+a/x在x∈[﹣2,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

正解：
函数f(x)=x+a/x在x∈[﹣2,+∞)上为增函数
而f(x)=x+a/x的定义域为x不为0
而题目要求x∈[﹣2,+∞)是有意义的
那么显然：f(x)=x+a/x中a/x这一项是不存在的
则有a/x=0
所以a=0
当a=0时，函数即
f(x)=x
显然为增函数，满足题意。
其实这个题就是这么简单。

下面给出解这种题目的一般思路：这个解法存在一定的问题，因为x不等为0，现在忽略掉x为0有无意义的问题，只是提供给你一个思路，方便做其他的题目。正确解法就是上面所述。这个解法只做参考，上不得考卷。

根据函数单调性的定义来做。由于x=0函数无意义，所以此题限定x不为0.
则有
f(x2)-f(x1)
=x2+a/x2-x1-a/x1
=(x2-x1)+a(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+a[(x1-x2)/(x1x2)]
=(x2-x1)[1-a/(x1x2)]
由于f(x)在x∈[﹣2,+∞)为增函数
必有f(x2)-f(x1)
=(x2-x1)[1-a/(x1x2)]>0
因为x2-x1>0
所以
1-a/(x1x2)>0
a/(x1x2)<1
1)当x1,x2异号时，x1x2<0
则有a>x1x2此时必有a>=0
2)当-2<=x1<x2<0时，
x1x2>0
则有
a/(x1x2)<1
即a<x1x2<4
3)当0<x1<x2时
a/(x1x2)<1,x1x2>0
即a<x1x2
因为x1x2>0
则a<=0
综上1)2)3)的结果可知：
a=0满足题目要求。

Answer 2

因为f(x)在x∈[﹣2,+∞)上为增函数，
从而 f'(x)=1-a/x²>0，对于x∈[﹣2,+∞)恒成立，
即 a<x²，x∈[﹣2,+∞)
所以 a<(x²)min，x∈[﹣2,+∞)
即 a<0

注：本题条件有问题。由于x≠0，从而 f(x)不可能在[﹣2,+∞)上为增函数。我的解法只是一个思路。