Question

正项数列{An}单调下降，∑（-1)^n An（∑从1到无穷）发散，证明

Answer 1

正项数列{An}单调下降,那么A_n必有极限，设为a>=0,注意到∑（-1)^n An（∑从1到无穷）发散，可以断定A_n的极限a不为0，若不然，由莱布尼兹判别法就有∑（-1)^n An（∑从1到无穷）收敛，矛盾。那么,a>0,若a不为1，则（1-A_(n+1)）/A_n的极限为1/a-1，不为0，由级数收敛的必要条件知道他发散。若a=1,,这个级数的敛散性等价于级数（1-A_(n+1)）,它的收敛性不定，例如，A_n=1+1/n,则发散，A_n=1+1/(n^2),则收敛。