Question

可导与可微等价吗？有什么区别？

近来看高数，一直困惑一个问题，可导与可微是等价的吗？望给予证明。

Answer 1

 可微与可导的唯一区别：

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关，多元函数可微必可导，而反之不成立。

例如：

设y=f(x)是一个单变量函数, 如果y在x=x[0]处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x[0]处可导。

如果一个函数在x[0]处可导,那么它一定在x[0]处是连续函数。

如果一个函数在x[0]处连续,那么它在x[0]处不一定可导 。

函数可导定义：

1、若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时, [f(x+a)-f(x)]/a存在极限, 则称f(x)在x0处可导。

2、若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的.函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。

这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在,它的左右极限存在且相等）推导而来一元函数中可导与可微等价,它们与可积无关，多元函数可微必可导,而反之不成立。

即：在一元函数里,可导是可微的充分必要条件；在多元函数里,可导是可微的必要条件,可微是可导的充分条件。

Answer 2

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。
多元函数可微必可导，而反之不成立。
即：
在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；
在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。

^_^希望你明白

Answer 3

对于一元函数来说，可微与可导是等价的。

设函数y＝f(x)在x＝x0处可微，则自变量x有增量△x时，函数增量△y＝A△x＋z，其中A是与△x无关的常数，z是比△高阶的无穷小。

△y/△x＝A＋z/△x，所以△x→0时，△y/△x→A，即A＝f'(x0)，所以y＝f(x)在x＝x0处可导

设设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则△x→0时，△y/△x→f'(x0)，所以
△y/△x＝f'(x0)＋u，u是△x→0时的无穷小，所以

△y＝f'(x0)△x＋u△x

所以，y＝f(x)在x＝x0处可微