Question

求个比较简单的数学证明题

求证：(a mod x)^b = (a^b) mod (x^b) 【a,b为整数 x为质数】
上式错误，更正为：

求证：((a mod x)^b) mod x = ((a^b) mod (x^b)) mod x 【a,b为整数 x为质数】

Answer 1

令a≡c(mod x), …………………………………………（1）
有a^b≡c^b(mod x )
存在整数a[1],a[2]，……a[n],（n>=b）使
a^b=c^b+a[1]x+a[2]x^2+……+a[n]x^n成立。
所以有
a^b ≡ c^b+a[1]x+a[2]x^2+……+a[b-1]x^(b-1) (mod x^b)
c^b+a[1]x+a[2]x^2+……+a[b-1]x^(b-1) ≡ c^b (mod x)
即
((a^b) mod (x^b)) ≡ c^b (mod x) ……………………（2）
由（1）（2）有
((a^b) mod (x^b)) ≡ (a mod x)^b (mod x)
((a mod x)^b) mod x = ((a^b) mod (x^b)) mod x

追问

灰常感谢您的回答，但一开始就看不懂啊。

（1）式中的令a≡c(mod x)是什么意思呀，扩号有什么用？是设a为 c余x么

追答

上面意思是，a,c,关于x 同余。

所以用括号。
就是a/x 和c/x 有相同的余数。

不好意思，网不好，好长时间没有来这里了。
这是初等数论的东西。
图书馆里去借一本就可以看到。

也可能，现在不采用这种写法了。但是，我觉得这样写更简单。