Question

在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②BE=DE；③∠DBC=1/2∠DAB；④△ABC是正三角形。请写出正确结论的序号_____（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

①②正确，③④错误
AB=AC=AD,AC又是角平分线，所以等腰△ABC ≌ 等腰△ADC
同样，边角边也可证明△ABE ≌ △ADE
所以BE=DE，且 ∠AEB =∠AED，此二角互补，所以均为90度，所以AC⊥BD

过A做等腰△ABC的高AF（也是角平分线、中线，三线合一）
有 Rt△ABF ∽ Rt△BCE 所以∠DBC = ∠FAB = 1/2∠BAC = 1/4∠DAB
∠DBC=1/4∠DAB 而不是 1/2

④无稽之谈

Answer 2

解：∵AB=AC，AC=AD，
∴AB=AD
∵AC平分∠DAB
∴AC垂直平分BD，①正确；

∴DC=CB，
易知DC＞DE，
∴BC＞DE，②错；

D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，
根据圆周角定理，得∠DBC=2分之∠DAC，③正确；

当△ABC是正三角形时，∠CAB=60°
那么∠DAB=120°，
如图所示是不可能的，所以错误．
故①③对．

Answer 3

1，2，正确，△ADB是等腰三角形，他的顶角平分线与高，底边平分线重合，在一定的条件下3，4，也存在相等的可能性，但题目中没有这些条件，所以不能认为正确

Answer 4

①、②、正确

Answer 5

①③④错误；②正确
理由如下：
1】反证法：假设AC⊥BD，由AB=AE得：
∠AEB=∠ABE=90°
显然三角形ABE中∠EAB=0°是不成立的
所以假设不成立，所以①错误
2】因为AC平分∠DAB，那么∠DAE=∠CAB
而DA=CA，AE=AB
所以⊿DAE≌⊿CAB（SAS）
所以DE=CB，∠ADE=∠ACB
所以②正确
3】由【2】知：∠ADE=∠ACB
而∠DEA=∠CEB（对顶角相等）
所以∠DAE=∠EBC（根据三角形内角和180°知）
所以③错误
4】显然AE=AB
既然AC=AE+EC＞AE=AB
所以AC不等于AB
更不用谈三角形ABC是等边三角形了
所以④错误