求f(x)=xyz在点(1,-1,0)沿方向(1,2,5)的方向导数为______.(求详细步骤)
沿单位向量方向n的方向导为 ▽f·n
单位方向向量n=(1,2,5)/根号(1^2+2^2+5^2)=(1,2,5)/根号30
▽f=(fx,fy,fz)=(yz,xz,xy)|(x=1,y=-1,z=0)=(0,0,-1)
所以方向导=(0,0,-1)·(1,2,5)/根号30 =-5/根号30 =-根号30/6
函数在某点的梯度是这样一个向量，方向与取得最大方向导数的方向一致，而模为方向导数的最大值。
扩展资料：
与普通函数的导数类似，方向导数也不是百分之百存在的，需要函数满足在某点处可微，才能计算出该函数在该点的方向导数。
如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数。
沿单位向量方向n的方向导为 ▽f·n。
单位方向向量n=(1,2,5)/根号(1^2+2^2+5^2)=(1,2,5)/根号30。
▽f=(fx,fy,fz)=(yz,xz,xy)|(x=1,y=-1,z=0)=(0,0,-1) 。
所以方向导=(0,0,-1)·(1,2,5)/根号30 =-5/根号30 =-根号30/6。
函数在某点的梯度是这样一个向量，方向与取得最大方向导数的方向一致，而模为方向导数的最大值。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
详细如下：
沿单位向量方向n的方向导为 ▽f·n，单位方向向量n=(1,2,5)/根号(1^2+2^2+5^2)=(1,2,5)/根号30，▽f=(fx,fy,fz)=(yz,xz,xy)|(x=1,y=-1,z=0)=(0,0,-1)，所以方向导=(0,0,-1)·(1,2,5)/根号30=-5/根号30=-根号30/6。
首先我们要明白方向导数的定义，以三元函数为例，设三元函数f在点P0（x0，y0，z0）的某邻域内有定义，l为从点P0出发的射线，P（x，y，z）为l上且含于邻域内的任一点，以ρ表示P和P0两点间的距离。
若极限lim（(f(P)-f(P0))/ρ）=lim（△lf/ρ）（当ρ→0时）存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数。
导数（Derivative）也叫导函数值，又名微商，是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
单位方向向量n=(1,2,5)/根号(1^2+2^2+5^2)=(1,2,5)/根号30
▽f=(fx,fy,fz)=(yz,xz,xy)|(x=1,y=-1,z=0)=(0,0,-1)
所以方向导=(0,0,-1)·(1,2,5)/根号30
=-5/根号30
=-根号30/6
